Kresba parket ze stejných obdélníků

PARKETY Parketa je vyplnění roviny polygony, ve kterých libovolné dva polygony mají buď společnou stranu, nebo mají společný vrchol, nebo nemají společné body.
Parketa se nazývá pravidelná, pokud se skládá z pravidelných mnohoúhelníků a kolem každého vrcholu jsou pravidelné mnohoúhelníky uspořádány stejným způsobem.
Příklady běžných parket jsou uvedeny vyplněním roviny: a) čtverci (obr. 1); b) rovnostranné trojúhelníky (obr. 2); c) pravidelné šestiúhelníky (obr. 3). Dokažme, že není možné vyplnit rovinu jinými stejnými pravidelnými polygony. Ve skutečnosti jsou úhly správné n – čtverce se rovnají 180 ° (n — 2)/n . Vyplňme tabulku skládající se z úhlů regulární n -gons.

Pokud se v jednom vrcholu parkety sbíhají m opravit n – úhly, pak musí být splněna rovnost:

Možné platné hodnoty n jsou 3, 4 a 6. Pro jiné hodnoty n číslo m se ukáže jako zlomkové. Zejména je nemožné zaplnit rovinu pravidelnými pětiúhelníky.
Rozšiřme způsoby konstrukce parket z pravidelných mnohoúhelníků tím, že umožníme použití pravidelných mnohoúhelníků s různým počtem stran.
Označme a ₁ , je ₂ , . úhly pravidelných mnohoúhelníků, které mají společný vrchol. Seřaďme je vzestupně. Vzhledem k tomu, že součet všech takových úhlů musí být roven 360°, sestavíme tabulku obsahující možné sady úhlů a uvedeme odpovídající parkety.

Celkem tedy existuje 11 druhů běžných parketových podlah.
Podívejme se nyní na otázku vyplnění roviny nepravidelnými stejnými polygony.
Teorém. Pro jakýkoli čtyřúhelník existuje parketa sestávající ze čtyřúhelníků rovných původnímu. Jinými slovy, celou rovinu můžete vyplnit čtyřúhelníkem libovolného tvaru.
Důkaz. Nechť je dán čtyřúhelník ABC D (obr. 12). Uvažujme čtyřúhelník centrálně symetrický vzhledem ke středu strany AB. Původní čtyřúhelník ABCD bude označeno číslem 1 a symetrické číslem 2. Nyní se čtyřúhelník 2 bude odrážet symetricky vzhledem ke středu jeho strany Ne. Výsledný čtyřúhelník označíme číslem 3 a odrážíme jej symetricky ke středu jeho strany CD . Výsledný čtyřúhelník označíme číslem 4. Čtyřúhelníky 1, 2, 3 a 4 svými úhly sousedí se společným vrcholem A, B, C и D . A protože součet úhlů čtyřúhelníku je 360°, vyplní tyto čtyřúhelníky část roviny kolem společného vrcholu. Stejnou konstrukci lze provést kolem každého nového vrcholu, což poskytne požadované vyplnění roviny. Všimněte si, že čtyřúhelníky natřené stejnou barvou (obr. 12) se získávají navzájem paralelním přenosem.
Vyplnění roviny lze provést nejen polygony, ale také postavami složitějšího typu. Opakující se stejné postavy jsou základem pro skládání ornamentů, které přitahovaly pozornost lidí již od starověku. Slavný holandský umělec Marius Escher (1898-1972) věnoval několik svých obrazů ornamentům. Mezi nimi: „Jezdci“ (obr. 13), „Flying Birds“ (obr. 14); „Ještěrky“ (obr. 15).

Literatura
1. Kokster G.S.M. Úvod do geometrie. – M.-Nauka, 1966, s. 100.
2. Vasiliev N.B. a další matematické soutěže. Geometrie. – M.: Nauka, 1974, s. 15 / Knihovna fyzikálně-matematické školy, číslo 4.
3. Domoryad A.P. Matematické hry a zábava. – M.; 1961.
5. Záslavský A. Parkety a přířezy // Quantum. – 1999. – č. 2. – S.32.
6. Smirnova I.M. Ve světě mnohostěnů. – M.: Vzdělávání, 1995.
7. Smirnova I.M., Smirnov V.A. Parkety a jejich ilustrace v grafickém editoru „Paint“ // Matematika ve škole. – 2000. – č. 8. – S.54.
8. Časopis //Quantum. 1979. – č. 2. – S.9; 1980. – č. 2. – S.25; 1986. – č. 8. – S.3; 1987. – č. 6. – S.27; 1987. – č. 11. – S.21; 1989. – č. 11. – S.57.
9. Časopis //Matematika ve škole. 1967. – č. 3. – S.75; 1986. č. 1. – S.59;

Maurice Cornelis Escher 1898-1972 holandský grafik. Je známý především svými litografiemi, dřevorytinami a rytinami, v nichž mistrovsky prozkoumal plastické aspekty pojmů nekonečno a symetrie i zvláštnosti psychologického vnímání složitých trojrozměrných objektů.

Narodil se v Holandsku ve městě Leeuwarden

V domě, kde se Escher narodil, je nyní muzeum

Celosvětová sláva v roce 1951 Publikováno ve třech populárních časopisech té doby:

Ještěrky, vyobrazené holandským umělcem M. Escherem, tvoří, jak říkají matematici, „parketu“. Každá ještěrka těsně přiléhá ke svým sousedům bez sebemenší mezery, jako parkety.

PYTHAGOREAN SCHOOL Nejjednodušší parketové podlahy objevili Pythagorejci asi před 2500 lety.

Matematické parkety Parkety jsou vyplnění roviny mnohoúhelníky, ve kterých libovolné dva mnohoúhelníky mají buď společnou stranu, nebo mají společný vrchol, nebo nemají společné body. Parketa se nazývá pravidelná, pokud se skládá z pravidelných mnohoúhelníků a kolem každého vrcholu jsou pravidelné mnohoúhelníky umístěny stejným způsobem (360 0).

Běžné parkety Součet všech úhlů n-úhelníku je 180°(n-2). Všechny úhly pravidelného mnohoúhelníku jsou stejné; proto je každý z nich roven 180°(n-2)/n. V každém vrcholu parkety se setkává celočíselný počet úhlů; proto číslo 2·180° musí být celočíselný násobek 180°(n-2)/n. Rozdíl n-2 může nabývat pouze hodnot 1, 2 nebo 4; proto se n může rovnat pouze 3, 4 nebo 6. To znamená, že je možné získat parkety složené z pravidelných trojúhelníků, čtverců nebo pravidelných šestiúhelníků.

Parkety z pravidelných mnohoúhelníků Existují následující způsoby pokládání parket pomocí kombinací pravidelných mnohoúhelníků: (3,12,12); (4,6,12); (6,6,6); (3,3,6,6) – dvě možnosti parket; (3,4,4,6) – čtyři možnosti; (3,3,3,4,4) – čtyři možnosti; (3,3,3,3,6); (3,3,3,3,3,3) (čísla v závorkách jsou označení polygonů sbíhajících se v každém vrcholu: 3 – pravidelný trojúhelník, 4 – čtverec, 6 – pravidelný šestiúhelník, 12 – pravidelný dvanáctiúhelník). Některé možnosti parket: (4,8,8) (3,3,6,6) (4,6,12) (3,4,4,6)

Parkety z nepravidelných mnohoúhelníků Je snadné pokrýt rovinu rovnoběžníky. Rovinu můžete obložit kopiemi libovolného čtyřúhelníku, který nemusí být nutně konvexní. Parketu můžete vytvořit z kopií libovolného trojúhelníku: ze dvou stejných trojúhelníků můžete poskládat rovnoběžník a pokrýt rovinu kopiemi tohoto rovnoběžníku se dvěma rovnoběžnými stranami. Dosud nebyly nalezeny všechny typy konvexních pětiúhelníků, ze kterých se vyrábí parkety. Byla prokázána věta, která říká: “Je nemožné vyrobit parketovou podlahu z kopií konvexního sedmiúhelníku.” Existují parkety vyrobené z nekonvexních sedmiúhelníků.

Parkety shodných a pravidelných mnohoúhelníků Vzorec pro úhel pravidelného n-úhelníku

Závěr: Při vytváření parket musí být splněna povinná podmínka: rovina, kterou dláždíme, musí být bez mezer a dvojitých krytin. Když vytváříte parkety, musíte být velmi opatrní a nespěchat, pokud přesunete jednu buňku, zničíte celou parketu.

Úkol 1. Ukažte, jak můžete vyrobit parkety ze stejných kopií: a) libovolného trojúhelníku, b) libovolného (ne nutně konvexního) čtyřúhelníku, c) pětiúhelníku se dvěma rovnoběžnými stranami, d) středově symetrického (ne nutně konvexního) šestiúhelníku.

Řešení: a) Ze dvou stejných trojúhelníků můžete přidat rovnoběžník a je snadné pokrýt rovinu rovnoběžníky. b) Je-li dán libovolný čtyřúhelník, pak jeho otočením o úhel Pi(180 0) kolem středu jedné z jeho stran získáme středově symetrický šestiúhelník složený ze dvou kopií daného čtyřúhelníku. Takové šestiúhelníky mohou pokrývat rovinu (obr. 4). c) Umístěním dvou kopií pětiúhelníku se dvěma rovnoběžnými stranami vedle sebe opět získáme středově souměrný šestiúhelník, jehož kopie mohou pokrývat rovinu (obr. 5). Obr.4 Obr.5